ALJABAR LINIER

1.1 Tujuan Instruksional Umum (TIU)

Setelah mempelajari bab ini mahasiswa diharapkan dapat memahami tentang sistem persamaan linier, aljabar matriks, determinan dan masalah nilai eigen serta penggunaan aljabar linier dalam kehidupan sehari-hari.

2. Tujuan Instruksional Khusus (TIK)

Setelah mempelajari bab ini mahasiswa diharapkan dapat :

1. Menjelaskan definisi matriks
2. Menghitung jumlahan dan perkalian matriks
3. Menentukan adjoin, determinan dan invers matriks bujur sangkar
4. Menyelesaikan sistem persamaan linier dengan determinan, eliminasi

Gauss dan matriks invers

5. Mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks bujur sangkar
6. Menggunakan aljabar matriks, sistem persamaan linier dan masalah

nilai eigen untuk memodelkan dan menyelesaikan masalah-masalah di

kehidupan sehari-hari.

1.3 Aljabar Matriks

1. Matriks dan Operasi Matriks

Definisi 1.1

Matriks adalah sebuah susunan (array) berbentuk segi empat dari bilangan-bilangan yang disajikan dalam kurung (kurung siku). Biliangan ini disebut elemen (entry).

Pada umumnya, matriks dilambangkan dengan huruf (bold) besar, misalnya A, B, C, . . . atau dengan menulis elemen umum dalam kurung.

(1.1)

Matriks bentuk (1.1) disebut matriks tipe m x n, yaitu matriks dengan m baris dan n kolom. Apabila m = n, maka A disebut matriks bujur sangkar n x n ( ordo-n).

Selanjutnya diagonal yang memuat elemen-elemen disebut diagonal utama dari A.

Sebuah matriks bagian dari A adalah sebuah matriks yang diperoleh dengan menghapus beberapa baris atau kolom (atau baris dan kolom) dari matriks A.

Contoh 1.1 :

Matriks bagian 2 x 2 ada tiga, yaitu :

, , dan

Matriks bagian 1 x 3 (vektor baris) ada dua, yaitu :

dan

Matriks bagian 2 x 1 (vektor kolom) ada tiga, yaitu :

, , dan

Definisi 1.2

Dua matriks dan dikatakan sama, ditulis jika tipenya sama (m = p dan n = r)dan elemen-elemen yang seletak sama .

Contoh 1.2 :

A = B jika dan hanya jika .

Definisi 1.3

Dua matriks dan dapat dijumlahkan jika tipenya sama dan didefinisikan sebagai dengan untuk setiap i,j.

Contoh 1.4 :

,

Definisi 1.4

Perkalian matriks dengan skalar k, ditulis

dengan untuk setiap i,j.

Catatan :

(i) ditulis disebut negatif dari A

(ii) ditulis

(iii) ditulis disebut selisih dari A dan B

Contoh 1.4 :

dan

Definisi 1.5

Dua matriks dan , dapat dikalikan jika n = p (banyak kolom dari A sama dengan banyak kolom dari B) dan didefinisikan sebagai dengan

untuk setiap i,j.

Contoh 1.4 :

,

Teorema 1.3.1

Misalkan A, B dan C matriks-matriks yang dapat dioperasikan terhadap penjumlahan, pengurangan dan perkalian. Maka berlaku sifat a. A + B = B + A (komutatif terhadap +)

2. A + (B + C) = (A +B) + C (asosiatif terhadap +)
3. A (B C) = (A B) C (asosiatif terhadap x)
4. A (B + C) = A B + A C (distributif kiri)
5. (A + B) C = A C + B C (distributif kanan)
6. A (B - C) = A B - A C j. (k + l) A = kA + lA
7. (A - B) C) = A C - B C k. (k - l) A = kA - lA
8. k (B + C) = k B + k C l. k (l A) = (k l) A
9. k (B - C) = k B - k C m. k(B C) = (k B) C = B (k C)

Contoh 1.5 :

Sebagai ilustrasi berlakunya sifat asosiatif terhadap perkalian, misalkan

, dan

Maka

dan

Sehingga

dan

Catatan :

Secara umum, sifat komutatif terhadap perkalian tidak berlaku.

Contoh 1.6 :

Misalkan dan

Maka

dan

Jadi,

Definisi 1.6

Jika matriks , maka transpose dari A , dinotasi dengan didefinisikan sebagai matriks tipe n x m yang diperoleh dengan mengganti baris dengan kolom dari A, artinya kolom pertama dari adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari adalah baris kedua dari A, dan seterusnya.

Jadi, jika , maka dengan untuk setiap I dan j.

Contoh 1.7 :

Maka

Teorema 1.3.2

a.

b.

c.

b.

1.4 Sistem Persamaan Linier (SPL)

1.4.1 Pengenalan SPL

Perhatikan sistem persamaan linier dari m persamaan dalam n variabel

(tidak diketahui) berikut :

(1.2)

Menggunakan matriks, sistem persamaan (1.2) dapat ditulis sebagai

(1.3)

dengan

Diasumsikan bahwa koefisien-koefisien tidak semuanya nol sehingga A bukan matriks nol. x dan b merupakan vektor kolom. Matriks

disebut matriks diperbesar (augmented matrix) dari sistem persamaan (1.2).

Sistem persamaan (1.2) disebut overdetermined jika . Jika , maka sistem persamaan (1.2) disebut determined. Sedangkan jika , maka sistem persamaan (1.2) disebut underdetermined. Sebuah sistem persamaan yang underdetermined selalu mempunyai solusi (penyelesaian). Untuk sistem overdetermined atau determined, solusinya mungkin ada atau mungkin tidak ada.

Teorema berikut mengkarakterisasi sebuah sistem persamaan linier mempunyai banyak solusi atau solusi tunggal atau tidak mempunyai solusi berdasarkan rank matriks. Jumlah (maksimum) vektor baris yang bebas linier dari matriks A disebut rank A , dinotasi rank A.

Teorema 1.4.1

1. Sistem persamaan linier (1.2) mempunyai solusi jika dan hanya jika

matriks koefisien dan matriks diperbesar mempunyai rank sama.

2. Jika rank = n, maka sistem persamaan (1.2) mempunyai solusi tunggal.
3. Jika rank < n, maka sistem persamaan (1.2) mempunyai banyak (tak hingga) solusi.
4. Jika solusi ada, solusi tersebut dapat diperoleh dengan eliminasi Gauss.

Metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier di atas adalah dengan mengganti sistem yang diberikan dengan sistem baru yang mempunyai solusi sama tetapi lebih mudah diselesaikan. Sistem baru ini secara umum diperoleh dengan operasi elementer untuk persamaan, yaitu :

1. Kalikan suatu persamaan dengan kanstanta tak nol k
2. Tukarkan dua persamaan
3. Tambahkan k kali persamaan tertentu ke persamaan lain.

Karena baris-baris dari matriks diperbesar berhubungan dengan persamaan-persamaan dalam sistem yang bersesuaian, ketiga operasi elementer di atas berhubungan dengan operasi baris elementer untuk matriks diperbesar, yaitu :

a. Kalikan suatu baris dengan kanstanta tak nol k

b. Tukarkan dua baris

c. Tambahkan k kali baris tertentu ke baris lain.

2. Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah sebuah metode baku untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Pada dasarnya metode ini mereduksi baris dalam matriks diperbesar menjadi matriks segitiga (bentuk echelon), kemudian variabel yang tidak diketahui dicari dengan substitusi mundur.

Contoh 1.8 :

Selesaikan sistem persamaan linier berikut menggunakan eliminasi Gauss.

1. Eliminasi dari persamaan kedua dan ketiga

2. Eliminasi dari persamaan ketiga

Menggunakan substitusi mundur, diperoleh solusi tunggal, yaitu :

Contoh 1.9 :

Selesaikan sistem persamaan linier berikut menggunakan eliminasi Gauss.

3. Eliminasi dari persamaan kedua dan ketiga dengan mengurangkan

2/3 kali persamaan pertama dari persamaan kedua

6/3=2 kali persamaan pertama dari persamaan ketiga

4. Eliminasi dari persamaan ketiga

Jadi, sistem persamaan linier ini tidak mempunyai solusi.

Contoh 1.10 :

Tunjukkan bahwa sistem persamaan linier berikut (menggunakan eliminasi Gauss) mempunyai banyak solusi, yaitu :

1.4.3 Latihan Soal

1.5 Determinan

Definisi 1.6

Misalkan A adalah matriks bujur sangkar. Fungsi determinan dilambangkan dengan det atau , dan det (A) (atau ) didefinisikan sebagai jumlah dari semua hasil kali elementer (bertanda) elemen-elemen A, yang nilainya disebut determinan dari A.

Pada uraian di bawah ini akan dibahas cara menentukan determinan dari matriks bujur sangkar ordo-n untuk setiap n ().

(i) n =2

(1.4)

(ii) n =3

Khusus untuk n = 3 , digunakan Aturan Sarrus, yaitu : tuliskan dua kolom pertama disebelah kanan, tarik garis pada diagonal utama dan dua garis sejajar dengannya, kemudian tarik garis pada diagonal kedua dan dua garis sejajar dengannya. Determinan dihitung dengan menjumlahkan hasil kali entri-entri sesuai arah garis ke kanan dan mengurangi hasil kali entri-entri sesuai arah garis ke kiri.

(1.5)

( - ) ( + )

Contoh 1.11 :

1.

2.

Catatan :

Jika A matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah atau matriks diagonal, maka sama dengan hasil kali elemen-elemen dalam diagonal utama.

Contoh 1.12 :

1.

2.

3.

Teorema berikut menyajikan sifat determinan yang berkaitan dengan adanya operasi baris elementer

Teorema 1.3.3

1. Jika B adalah matriks yang diperoleh dari A dimana semua elemen dalam satu baris (atau satu kolom) dari A dikalikan dengan konstanta k, maka .

2. Jika B adalah matriks yang diperoleh dari A dimana dua baris (atau dua kolom) dari A ditukarkan, maka .

3. Jika B adalah matriks yang diperoleh dari A dimana k kali suatu baris (atau suatu kolom) dari A ditambahkan ke baris (atau kolom) lain, maka .

Contoh 1.13 :

a. Baris-1 dari A dikalikan 2

b. Baris-1 dari A ditukar dengan baris-2

c. Baris-2 dari A ditambah –2 kali baris-1

Teorema 1.3.4

Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dan berordo sama, maka

(1.6)

Contoh 1.14 :

Maka

Jadi,

1.4.3 Latihan Soal

1.6 Ekspansi Kofaktor dan Aturan Cramer

Definisi 1.7

Jika , maka disebut minor dari disefinisikan sebagai determinan dari submatriks yang diperoleh setelah baris-i dan kolom-j dihapus dari matriks A. Nilai disebut kofaktor dari .

Ekspansi kofaktor adalah suatu metode untuk menghitung determinan, yang perhitungannya dapat dilakukan sepanjang baris atau sepanjang kolom.

Misalkan matriks bujur sangkar ordo-n,

Untuk menentukan digunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris–i atau ekspansi kofaktor sepanjang kolom-j.

1. Ekspansi kofaktor sepanjang baris-i (i=1, 2, … , n)

(1.7)

2. Ekspansi kofaktor sepanjang kolom-j (j=1, 2, … , n)

(1.8)

Contoh 1.15 :

Kofaktor dari (i=j=1, 2, 3) adalah sebagai berikut.

Minor dari (i=j=1, 2, 3) adalah sebagai berikut.

Contoh 1.16 :

Maka

1. Ekspansi kofaktor sepanjang baris-1

2. Ekspansi kofaktor sepanjang kolom-3

Definisi 1.8

Jika dan kofaktor dari , maka

(1.9)

disebut matriks kofaktor dari A. Transpose dari C disebut adjoint dari A, dinotasi adj(A).

Contoh 1.17 :

Maka kofaktor-kofaktor dari

Jadi, adjoint dari A,

Pada Teorema 1.3.5 berikut memberikan rumus yang berguna untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan n persamaan dalam n variabel. Rumus ini dikenal dengan Aturan Cramer.

Teorema 1.3.5 (Aturan Cramer)

Jika A x = b adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan dalam n variabel sedemikian hingga , maka sistem persamaan tersebut mempunyai solusi tunggal, yaitu :

(1.10)

dengan adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti elemen-elemen dalam kolom-j dari A dengan elemen-elemen matriks

Contoh 1.18 :

Menggunakan Aturan Cramer, selesaikan sistem persamaan linier berikut :

Jawab :

Jadi,

1.4.3 Latihan Soal

7. Invers Matriks Bujur Sangkar

Definisi 1.9

Jika A matriks bujur sangkar dan B sebuah matriks dengan tipe sama sedemikian hingga A B = B A = I, maka A dikatakan dapat diinverskan (invertible) dan B disebut invers A , ditulis A^-1.

Teorema 1.3.6

Jika B dan C keduanya invers dari A, maka B = C

Teorema 1.3.7

Matriks dapat diinverskan jika dan

(1.11)

Teorema 1.3.8

Jika A yang dapat diinverskan, maka

(1.12)

Contoh 1.19 :

Jika A adalah matriks seperti pada Contoh 1.17, maka dan

Teorema 1.3.8

Jika A dan B matriks yang dapat diinverskan dan bertipe sama, maka

a. A B dapat diinverskan

2. (A B)^-1 = B^-1 A^-1

Contoh 1.20:

Menggunakan Teorema 1.3.3,

dan

1.4.3 Latihan Soal

7. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi 1.10

Jika A matriks bujur sangakar ordo-n, maka vektor tak nol x dalam Rⁿ disebut vektor eigen dari A jika

(1.13)

untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai eigen dari A, dan x dikatakan vektor eigen dari A yang berhubungan dengan .

Untuk menentukan nilai-nilai eigen dari matris A, persamaan (1.13) dapat ditulis sebagai

atau .

Persamaan (1.13) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika

.

Persamaan ini disebut persamaan karakteristik dari A dan skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A.

Sedangkan adalah suatu polinom dalam yang disebut polinom karakteristik dari A.

Contoh 1.21 :

Tentukan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks

Jawab :

1. Nilai eigen

Polinom karakteristik dari A

Maka persamaan karakteristik dari A

2. Vektor eigen

a. Misalkan adalah vektor eigen yang berhubungan dengan . Vektor eigen ini diperoleh dari , yaitu :

Jika dipilih maka . Jadi, vektor eigen yang berhubungan dengan adalah .

b. Misalkan adalah vektor eigen yang berhubungan dengan . Vektor eigen ini diperoleh dari , yaitu :

Jika dipilih maka . Jadi, vektor eigen yang berhubungan dengan adalah .

1.3.7 Latihan Soal

1.5 Aplikasi Aljabar Linier

1.5.1 Aplikasi matriks dan SPL

1.5.2 Aplikasi nilai eigen dan vektor eigen

1.5.3 Latihan Soal